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RMQ_第一弹_Sparse Table

  • 缅甸环球国际hq8088.com
  • 2019-03-14
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简介title:RMQ_第一弹_SparseTabledate:2018-09-2121:33:45tags:acmRMQSTdp数据结构算法categories:ACM概述RMQ

title: RMQ_第一弹_Sparse Tabledate: 2018-09-21 21:33:45tags:

acmRMQSTdp数据结构算法categories:

ACM

概述

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)

从英文便可以看出这个算法的主要是询问一个区间内的最值问题,,,

暑假集训的时候学习了 线段树 ,,,

也可以对给定数组查询任意区间的最值问题,,,,

这两个主要的区别就是 线段树 可以进行单点的修改操作,,,而 Sparse Table 算法不能进行点修改,,

或者说这样修改一次重预处理一次不划算,,,

所以说,,要是题目只是单纯的多次查询任意区间的最值,,,Sparse Table 首选,,毕竟,,毕竟写起来比线段树简单得多了,,,

预处理

算法原理

基本思想是dp,,,,

dp的状态 : 对于数组 (a[1-n]) , (F[i , j])表示从第 (i) 个位置开始 , 长度(2^j) 个数这个区间中的最值,,,;

dp的初始值 : (F[i , 0] = a[i]);

状态转移方程 : (F[i , j] = max (F[i , j - 1] , F[i + 2^{j - 1} , j - 1]));

思想 : (F[i , j]) 就是不断取他的左右这两段的最值,,这两段的长度相等,都为 (2^{j - 1}) 个元素,,

实现

const int maxn = 5e4 + 10;int n , q;int a[maxn];int mx[maxn][20];int mi[maxn][20];void rmq(){ for (int i = 1; i <= n; ++i) mx[i][0] = mi[i][0] = a[i]; for (int j = 1; (1 << j) <= n; ++j) { for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; ++i) { mx[i][j] = max(mx[i][j - 1] , mx[i + (1 << (j - 1))][j - 1]); mi[i][j] = min(mi[i][j - 1] , mi[i + (1 << (j - 1))][j - 1]); } }}

这里我们需要注意的是循环的顺序,我们发现外层是j,内层所i,这是为什么呢?可以是i在外,j在内吗?答案是不可以。因为我们需要理解这个状态转移方程的意义。

状态转移方程的含义是:先更新所有长度为F[i,0]即1个元素,然后通过2个1个元素的最值,获得所有长度为F[i,1]即2个元素的最值,然后再通过2个2个元素的最值,获得所有长度为F[i,2]即4个元素的最值,以此类推更新所有长度的最值。

而如果是i在外,j在内的话,我们更新的顺序就是F[1,0],F[1,1],F[1,2],F[1,3],表示更新从1开始1个元素,2个元素,4个元素,8个元素(A[0],A[1],....A[7])的最值,这里F[1,3] = max(max(A[0],A[1],A[2],A[3]),max(A[4],A[5],A[6],A[7]))的值,但是我们根本没有计算max(A[0],A[1],A[2],A[3])和max(A[4],A[5],A[6],A[7]),所以这样的方法肯定是错误的。

本段来自某大佬博客


查询

思想

假如我们需要查询的区间为(i,j),那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i,右边界取j)的最小幂(可以重复,比如查询5,6,7,8,9,我们可以查询5678和6789)。

因为这个区间的长度为 (j - i + 1) ,所以我们可以取 (k=log2( j - i + 1)) ,则有:(RMQ(A, i, j)=max(F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]))

举例说明,要求区间[2,8]的最大值,(k = log_2(8 - 2 + 1)= 2),即求 (max(F[2, 2],F[8 - 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2],F[5, 2]))

实现

int ans(int l , int r){ int k = 0; int len = r - l + 1; while ((1 << (k + 1)) <= len) ++k; return max (mx[l][k] , mx[r - (1 << k) + 1][k]) - min (mi[l][k] , mi[r - (1 << k) + 1][k]);}

实战

题目链接

题目大意: 给定的数列a[1 - n] , 求出[l , r]这个区间内的极差 , 即最大值与最小值的差

直接套板子,,,,

ac代码:

#include <iostream>#include <cmath>#include <cstring>#include <cstdio>using namespace std;const int maxn = 5e4 + 10;int n , q;int a[maxn];int mx[maxn][20];int mi[maxn][20];void rmq(){ for (int i = 1; i <= n; ++i) mx[i][0] = mi[i][0] = a[i]; for (int j = 1; (1 << j) <= n; ++j) { for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; ++i) { mx[i][j] = max(mx[i][j - 1] , mx[i + (1 << (j - 1))][j - 1]); mi[i][j] = min(mi[i][j - 1] , mi[i + (1 << (j - 1))][j - 1]); } }}int ans(int l , int r){ int k = 0; int len = r - l + 1; while ((1 << (k + 1)) <= len) ++k; return max (mx[l][k] , mx[r - (1 << k) + 1][k]) - min (mi[l][k] , mi[r - (1 << k) + 1][k]);}using namespace std;int main(){ while (scanf("%d%d" , &n , &q) != EOF) { for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d" , &a[i]); rmq(); while (q--) { int l , r; scanf("%d%d" , &l , &r); printf("%d" , ans(l , r)); } } return 0;}

kuangbin的板子:

一维:

const int MAXN = 50010;int dp[MAXN][20];int mm[MAXN];//初始化 RMQ, b 数组下标从 1 开始,从 0 开始简单修改void initRMQ(int n,int b[]){ mm[0] = −1; for(int i = 1; i <= n; i++) { mm[i] = ((i&(i−1)) == 0)?mm[i−1]+1:mm[i−1]; dp[i][0] = b[i]; } for(int j = 1; j <= mm[n]; j++) for(int i = 1; i + (1<<j) −1 <= n; i++) dp[i][j] = max(dp[i][j−1],dp[i+(1<<(j−1))][j−1]);} //查询最大值int rmq(int x,int y){ int k = mm[y−x+1]; return max(dp[x][k],dp[y−(1<<k)+1][k]);}, 1, 0, 9);

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